Teoria delle linee di trasmissione: osservazione del coefficiente di riflessione e dell'onda stazionaria

Jul 29, 2023

Vari tipi di onde in natura si comportano fondamentalmente allo stesso modo. Come una voce che risuona da una scogliera, le onde elettriche si riflettono quando incontrano un cambiamento nell'impedenza del mezzo in cui viaggiano. La riflessione delle onde può portare a un fenomeno interessante chiamato onda stazionaria. Le onde stazionarie sono essenziali per il modo in cui la maggior parte degli strumenti musicali produce il suono. Ad esempio, gli strumenti a corda non funzionerebbero senza la prevedibilità e gli effetti di amplificazione delle onde stazionarie.

Tuttavia, nella progettazione RF, le onde stazionarie sono indesiderabili quando miriamo a trasferire potenza da un blocco a quello successivo nella catena del segnale. Infatti, le onde stazionarie possono influenzare le prestazioni di diversi sistemi RF e a microonde, dalle camere anecoiche agli apparecchi di uso quotidiano come i forni a microonde.

Anche se i concetti di propagazione e riflessione delle onde non sono molto complicati, all’inizio potrebbero creare un po’ di confusione. Il modo migliore per visualizzare come le onde si propagano e si riflettono su una discontinuità è tracciare le equazioni d'onda per diverse configurazioni.

In questo articolo, per prima cosa ricaveremo le equazioni richieste e le utilizzeremo per spiegare il fenomeno delle onde stazionarie attraverso diversi esempi di forme d'onda.

Innanzitutto, deriviamo le nostre equazioni. So che è noioso, ma ci aiutano davvero a capire come le onde si propagano e interagiscono tra loro su una linea di trasmissione. Nell'articolo precedente di questa serie, abbiamo esaminato la risposta sinusoidale in stato stazionario di una linea di trasmissione e abbiamo derivato le equazioni di tensione e corrente. Applicando vs(t) = Vscos(ωt) ad una linea, le onde di tensione e corrente sono:

\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]

\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]

Dove:

Queste equazioni corrispondono alla configurazione mostrata nella Figura 1 (a), in cui viene scelta la direzione positiva dell'asse x dalla sorgente al carico. Se rappresentiamo queste onde con i loro fasori, l'onda che viaggia in avanti (o incidente) e le onde di tensione che viaggiano all'indietro (o riflesse) saranno, rispettivamente, Ae-jβx e Bejβx, come mostrato nella Figura 1 (a).

Per quanto riguarda i problemi della linea di trasmissione, solitamente è più conveniente scegliere la direzione dell'asse positivo dal carico alla sorgente, come mostrato nella Figura 1(b). Per trovare le nuove equazioni, dobbiamo sostituire x nelle equazioni originali con ld. Come espresso nella nuova variabile, d, l’onda che viaggia in avanti diventa:

\[Ae^{-j \beta x} = Ae^{-j \beta (ld)}=Ae^{-j \beta l}e^{j \beta d} = A_1 e^{j \beta d }\]

Dove A1 = Ae-jβl è una nuova costante. Da qui si può verificare che, nel nuovo sistema di coordinate, l'onda riflessa è B1e-jβd, dove B1 = Bejβl. Pertanto, i fasori di tensione e corrente totali sono mostrati nelle equazioni 1 e 2.

\[V(d)=A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}\]

\[I(d)=\frac{A_1}{Z_0}e^{j \beta d}-\frac{B_1}{Z_0}e^{-j \beta d}\]

Queste equazioni rendono più semplice esaminare l'effetto del carico sulla riflessione dell'onda perché, in questo caso, il carico è d = 0, semplificando le equazioni. Lasciando d = 0, si ottengono le seguenti equazioni al carico, come visto nelle equazioni 3 e 4.

\[V(d=0)=A_1+B_1\]

\[I(d=0)=\frac{A_1}{Z_0}-\frac{B_1}{Z_0}\]

Consideriamo ad esempio il caso in cui la linea termina in circuito aperto. Con l'uscita aperta (ZL = ∞), la corrente di uscita è ovviamente nulla. Dall'equazione 4, abbiamo A1 = B1 e quindi la tensione totale è V(d = 0) = 2A1.

Pertanto, per una linea a circuito aperto, la tensione riflessa è uguale alla tensione incidente in uscita e la tensione totale in questo punto è il doppio della tensione incidente. Allo stesso modo, possiamo usare le equazioni 3 e 4 per trovare il rapporto tra l'onda riflessa e l'onda incidente per un'impedenza di carico arbitraria ZL. Questo rapporto è un parametro importante noto come coefficiente di riflessione, di cui parleremo tra poco.

Usando le equazioni 1 e 2, possiamo trovare il rapporto tra tensione e corrente (cioè l'impedenza di ingresso della linea di trasmissione) in diversi punti lungo la linea. Ciò porta all'equazione 5.